O que você realmente precisa salvar

Uma pasta só: o runtime path. Dentro dela está cada instância (com mods, mundos, configs, screenshots, dados de mundo), os assets compartilhados do Minecraft, as libraries compartilhadas, os runtimes Java que o GDLauncher baixou, o banco SQLite do launcher (gdl_conf.db) com suas contas e configurações, e os logs gerais em __gdl_logs__/. Faça backup dessa pasta e você tem tudo que importa.

Não precisa salvar a pasta de dados do próprio Electron. Ela só guarda coisas que o launcher refaz na primeira execução: posição da janela, caches internos, esse tipo de coisa. Pular ela não custa nada.

Achando seu runtime path

Jeito mais fácil: abra o GDLauncher, vá em Settings → Runtime Path e copie o caminho mostrado. Essa é a fonte da verdade, tendo você movido ele um dia ou não.

Se o GDLauncher não abrir (disco morrendo, sistema quebrado), o local padrão é:

Windows: %APPDATA%\gdlauncher_carbon\data (cole no Win+R ou na barra de endereço do Explorer).
macOS: ~/Library/Application Support/gdlauncher_carbon/data (Finder → Cmd+Shift+G, cole, Enter).
Linux: ~/.local/share/gdlauncher_carbon/data (ou $XDG_DATA_HOME/gdlauncher_carbon/data se você definiu XDG_DATA_HOME).

Se você já moveu o runtime path pelas configurações, a pasta padrão acima vai estar vazia ou nem existir, e um arquivo chamado runtime_path_override ao lado dela aponta pro local real. Abra com qualquer editor de texto: a única linha dentro dele é o caminho absoluto dos seus dados.

Fazendo o backup

Feche o GDLauncher primeiro. O banco SQLite do runtime path é seguro de copiar com o launcher fechado, mas pode gerar uma cópia corrompida se você pegar ele no meio de uma escrita.

Depois copie a pasta do runtime path, com a estrutura intacta, pra onde você quer o backup. Outro drive, um pendrive, um NAS, um arquivo na nuvem offline: o destino não importa, desde que não seja o disco que você está prestes a apagar.

Restaurando depois de formatar

No sistema recém-instalado:

Instale o GDLauncher. Abra uma vez e feche, isso cria as pastas padrão.
Copie a pasta do runtime path do backup pro lugar definitivo no sistema novo. Pode ser o mesmo drive e caminho de antes, ou outro lugar (um disco maior, por exemplo).
Reabra o GDLauncher. Vá em Settings → Runtime Path e aponte pra pasta que você acabou de restaurar. Quando você mira numa pasta que já contém dados GDLauncher válidos, o launcher detecta e troca pra ela sem copiar nem duplicar nada.
Reinicie o launcher. Suas instâncias, contas, configurações e instalações de Java estão todas de volta.

O que vai no backup e o que não vai

Preservado ao salvar o runtime path:

Todas as instâncias: mods, configs, mundos salvos, screenshots, resource packs, shader packs, datapacks.
Contas Microsoft logadas (guardadas no banco do launcher, com os tokens). Elas podem precisar de refresh na primeira execução, mas você não vai ter que logar de novo.
Configurações: tema, idioma, argumentos Java padrão, memória padrão, o próprio runtime path.
Instalações de Java baixadas pelo GDLauncher. Dá pra pular essas e deixar o GDLauncher baixar de novo na primeira execução: backup mais rápido em troca de um download único.
Logs gerais e logs por instância.

Não preservado (e você não precisa):

Estado da janela do Electron (tamanho, posição). O launcher só escolhe novos padrões.
Entradas no chaveiro do sistema: o GDLauncher usa o banco dele pras contas.

Backup mínimo se estiver sem espaço

Se o runtime path inteiro não couber, copie só <runtime_path>/instances/ e <runtime_path>/gdl_conf.db. Em instances estão seus mundos e configs, no banco estão suas contas e configurações. Você perde os assets do Minecraft, as libraries e as instalações de Java em cache, mas tudo isso baixa de novo na primeira execução.

Pro mínimo absoluto, copie a subpasta instance/saves/ de cada instância. Isso é só os arquivos de mundo. Você perde a configuração da instância (lista de mods, versão, modloader) mas os mundos sobrevivem e podem ser carregados depois numa instância criada do zero.

Se você também vai trocar de disco ou de PC, não só formatar

Mesmo backup, restaurando na máquina nova. Os dados de runtime do GDLauncher viajam bem dentro da mesma família de sistema. Windows → Windows ou Linux → Linux funciona direto. Cruzando Windows ↔ macOS ↔ Linux, mundos, configs, resource packs e a maioria dos mods continuam funcionando, mas o launcher vai redetectar o Java (binários diferentes por sistema) e pode rebaixar libraries nativas na primeira execução.

Veja também: Mover os dados do GDLauncher pra outro drive pro jeito de dentro do app, sem copiar e colar na mão.

Não sincronize o runtime path enquanto joga

OneDrive, iCloud, Dropbox, Google Drive desktop e afins disputam file handles com o GDLauncher. Depois de restaurar, não coloque o runtime path dentro de uma pasta que essas ferramentas sincronizam ativamente: vai dar erro de "arquivo em uso" e corrupção ocasional de save. Mantenha o runtime path num drive local comum e faça o backup dele à parte.

Como fazer backup do GDLauncher antes de formatar o PC